Materi Tree (Pohon) (Matematika Diskret)
POHON (TREE)
Pohon (tree) telah digunakan sejak tahun 1857 oleh
matematikawan Inggris yang bernama Arthur Cayley untuk menghitung jumlah
senyawa kimia.Silsilah keluarga biasanya juga digambarkan pasa bentuk pohon.
Pohon (tree) adalah merupakan graf yang tak berarah
terhubung yang tidak memuat sirkuit sederhana. Diagram pohon dapat
digunakan sebagai alat untuk memecahkan masalah dengan menggambarkan semua
alternative pemecahan.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa pohon adalah suatu graph
yang banyak vertexnya sama dengan n (n>1), jika :
~ Graph tersebut tidak mempunyai lingkar (cycle
free) dan banyaknya rusuk (n-1).
~ Graph tersebut terhubung .
Contoh :
Hutan (
forest ) merupakan kumpulan pohon yang saling lepas. Dengan kata lain, hutan
merupakan graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit.
Ciri – ciri
hutan :
banyaknya
titik = n
banyaknya
pohon = k
banyaknya
rusuk = n-k
Berikut adalah beberapa sifat pohon :
1. Misalkan G merupakan suatu graf dengan n buah simpul dan tepat n – 1 buah sisi.
2. Jika G tidak mempunyai sirkuit maka G merupakan pohon.
3. Suatu pohon dengan n buah simpul mempunyai n – 1 buah sisi.
4. Setiap pasang simpul di dalam suatu pohon terhubung dengan lintasan tunggal.
5. Misalkan G adalah graf sederhana dengan jumlah simpul n,jika G tidakmengandung sirkuit maka penambahan satu sisi pada graf hanya akan membuatsatu sirkuit.
1. Spanning Tree
Spanning Tree adalah subgraph G merupakan
pohon dan mencakup semua titik dari G.Pohon merentang di peroleh dengan cara
menghilangkan sirkuit didalam graf tersebut.
Contoh :
T1, T2, T3, T4 ® merupakan spanning tree
dari G
Minimal spanning tree dari labeled graph Adalah spanning
tree dari graph yang mempunyai jumlah panjang edge minimum.
Contoh :
2. Rooted Tree ( Pohon Berakar )
Rooted tree adalah
suatu tree yang mempunyai akar . Istilah-istilah /
unsur - unsur yang ada pada pohon berakar :
1. Akar :dinyatakan dengan
lingkar-aN
2. Daun
3. Cabang
4. Tinggi
/ level / dept / dalamnya suatu vertex
Contoh :
Sifat Utama Pohon Berakar
1. Jika Pohon mempunyai Simpul sebanyak n, maka banyaknya
ruas atau edge adalah (n-1).
2. Mempunyai Simpul Khusus yang disebut Root, jika Simpul
tersebut memiliki derajat keluar >= 0, dan derajat masuk = 0.
3. Mempunyai Simpul yang disebut sebagai Daun / Leaf,
jika Simpul tersebut berderajat keluar = 0, dan berderajat masuk = 1.
4. Setiap Simpul mempunyai Tingkatan / Level yang dimulai
dari Root yang Levelnya = 1 sampai dengan Level ke - n pada daun paling bawah.
Simpul yang mempunyai Level sama disebut Bersaudara atau Brother atau Stribling
5. Pohon mempunyai Ketinggian atau Kedalaman atau Height,
yang merupakan Level tertinggi
6. Pohon mempunyai Weight atau Berat atau Bobot, yang
banyaknya daun (leaf) pada Pohon.
7. Banyaknya Simpul Maksimum sampai Level N adalah :
|
8. Banyaknya Simpul untuk setiap Level I adalah
N
∑ 2 (I -1)
(I-1)
|
Contoh Soal Pohon
1. Spanning Tree
Perhatikan
gambar suatu graf berikut :
Penyelesaian dengan Spanning Tree adalah
2. Rooted Tree
Diketahui suatu
bentuk Pohon Berakar T sebagai berikut :
Pohon diatas mempunyai :
a. Simpul sebanyak = 8 dan edge = n - 1 = 8 – 1 = 7
b. Root pada Pohon T diatas adalah Simpul P
c. Mempunyai daun (Leaf) = 4, yaitu = R, S, V dan W
d. Level (tingkatan) Pohon = 4 yaitu :
Level 1 = Simpul
P
Level 2 = Simpul Q
dan T
Level 3 = Simpul R, S dan U
Level 4 = Simpul V dan W
e. Ketinggian atau kedalaman = jumlah level = 4
f. Weight atau berat atau bobot = jumlah daun = 4
Dalam gambar Pohon T diatas dapat dibentuk 2 buah
hutan (forest), bila simpul P dihilangkan, yaitu :
Hutan 1 : Q,R,S
Hutan 2 : T,U,V,W
g. Banyaknya Simpul Maksimum yang dapat
terbentuk sampai Level 4 (bila simpul pada pohon
dianggap penuh) adalah
2(N) – 1
2(4) – 1 = 16 – 1 = 15
h. Banyaknya Simpul maksimum untuk setiap Level I(bila
simpul pada pohondianggap penuh) adalah :
Maksimum Simpul
pada level 2 = 2 ( I – 1)=
2
( 2 - 1 ) = 2
Maksimum Simpul
pada level 3 = 2 (3-1)= 4
Maksimum Simpul
pada level 4 = 2 (4-1)= 2
3. Terdapat sebuah permainan sederhana sebagai berikut: Seseorang memikirkan
sebuah angka antara 1 sampai 31. Anda harus menebak angka dengan benar.
Anda bertanya, ”Apakah angkanya x?” kemudian orang tersebut menjawab
dengan ”Ya”,”Lebih kecil dari x”, atau ”Lebih besar dari x”. Tunjukkan bahwa Anda
mampu menebak angka tersebut tidak lebih dari 5 kali tebakan.
Penyelesaian :
Petunjuknya adalah dengan selalu menebak angka yang menjadi titik tengah dari
jangkauan angka yang tersisa. Kemudian, jika tebakan salah akan mengurangi
separuh angka, hingga akhirnya akan tersisa satu angka. Gambar 11.6
memperlihatkan bagaimana proses tebakan berlangsung,mulai dari 16.
Setiap verteks adalah titik yang memutuskan nilai benar atau salah, jika salah maka nilai
tersebut berada di salah satu subtree dari dua subtree. Subtree pada sisi kiri berisi
nilai yang lebih kecil, dan subtree pada sisi kanan berisi nilai yang lebih besar.
Tree yang terbentuk hanya empat level, maka diperlukan tidak lebih dari 5 kali
tebakan.
Komentar
Posting Komentar