Matriks, Relasi dan Fungsi

Matriks

Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Biasanya dilambangkan dengan huruf kafital. Bilangan- bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen. Suatu matriks memiliki ukuran yang dijelaskan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat pada matriks tersebut. Ukuran pada matriks disebut ordo. Ordo pada matriks atau ukuran matriks adalah suatu bilangan yang menunjukkan banyaknya baris dan di ikuti oleh banyaknya kolom. Menuliskan matriks dalam bentuk persegi panjang di atas adalah boros tempat, oleh karena itu matriks dituliskan dengan notasi ringkas A = [ ].

Beberapa Matriks Khusus

• Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar dengan = 0 untuk i  j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi  i  j bernilai 0. Dengan kata lain, matriks diagonal adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya.

• Matriks Identitas

Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1. Setiap matriks yang dikalikan dengan matriks satuan, maka hasilnya adalah matriks itu sendiri sehingga dinamakan matriks identitas.

• Matriks Segitiga Atas/Bawah 

Matriks segitiga atas/bawah adalah matriks jika elemen-elemen di atas/di bawah diagonal bernilai 0, yaitu = 0 jika i < j (i > j).

Maka matriks segi tiga atas adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen di bawah diagonal utamanya.

• Matriks Transpose

Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom. Misalkan A = [ ] berukuran mx n, maka transpose dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks n x m yang dalam hal ini jika AT = [ ], maka =  untuk i =1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, m.

• Matriks Setangkup (Symmetry)

A adalah matriks setangkup atau simetri jika AT = A, yaitu jika =  untuk setiap i dan j. dengan kata lain, pada matriks setangkup elemen di bawah diagonal adalah hasil pencerminan dari elemen di atas diagonal terhadap sumbu diagonal matriks.

Maka matriks setangkup adalah matriks yang transposenya sama dengan matriks itu sendiri, dengan kata lain A=AT.

• Matriks 0/1 (zero-one)

Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Matriks ini banyak digunakan untuk mempresentasikan relasi keterhubungan.

Maka matriks 0 (nol) adalah matriks yang setiap entri atau elemennya merupakan angka nol (0).

RELASI

Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian hubungan  biner R antar himpunan E dan F, merupakan himpunan  dari E × F / R ⊆(E × F).

Example:

Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }. Jika didefinisikan relasiR dari E ke F  menggunakan aturan seperti, (e,fb) ∈ R jika faktor dari f, dan Seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau yang sudah kalian ketahui,

 E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  keF  yang mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E,  di himpunan E, yang merupakanhimpunan E × E

Example: 

Misal R a/ relasi pada E = {2, 3, 4, 8, 9} yang diumpamakan :

(x, y) ∈ R dan bila x habis dapat dibagi oleh y.

Relasi R pada E  yang menggikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.

R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}

Sifat-Sifat Relasi 

Relasi atau hubungan pada himpunan punya suatu sifat, sifat-sifat yang ada seperti.

• Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e, e) ∈ Runtuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a, a) ∉ R.

Example: 

Misalkan E = {1, 2, 3, 4}, 

dan sifat Relasi R adalah  ‘≤’ yang dimisalkan himpunan E, jadi

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), 

(4, 4)}

Kelihatan bukan jika  (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif

Example : 

Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita misalkan relasi R yang ada di himpunan A memiliki aturan:

(e, f) ∈ R jika e faktor prima dari f

Perlu diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak  dan bukan bersifat refleksif.

Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian suatu relasi, seperti:

• Relasi yang memiliki sifat refleksif memiliki matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika dibuktikan dalam bentuk graf terarah jadi  di graf tersebut akan ditemukan sebuah  loop pada setiap simpulnya.

• Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R di himpunan E memiliki sifat simetri jika 

(e, f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f) ∈ R.

Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak simetri jika (e,f) ∈ R sementara itu (e, f) ∉ R.

Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai anti simetri dan misalkan untuk setiap

 a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.

    Perhatikan bila istilah/ definisi simetri dan anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi  bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi , suatu relasi tak bisa mempunyai  kedua sifat itu jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan atau terurut dengan bentuk

 (a, b) yang mana a ≠ b.

example: 

Misal R adalah sebuah relasi di himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :

e R f  bila  & hanya jika e – f ∈ Y.

Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simetri !

Misal e R f  jadi/ maka (e – f) ∈ Y, Sementara  (f – e) ∈ Z.

Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simetri.

Example : 

Buktikan bila relasi  ‘≤’ adalah himpunan Z.  Yang bersifat anti simetri

Jadi jika e ≤ f dan f ≤ e berarti e = f.

Hasilnya adalah  ‘≤’ menjadi/ memiliki sifat anti simetri.

• Transitif (transitive)

Sebuah atau suatu relasi atau hubungan  R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

example :

Misal E  = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi  dapat diartikan bila :

e R f  jikalau & hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E

Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang terdapat pada himpunan E, jadi :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈ R terbukti bila  (2, 8 ) ∈ R.

Dan relasi  R memiliki sifat transitif.

Example : 

R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:

R : E + f = 5, e, f ∈ E,

Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E, jadi:

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Buktikan bila  (1, 4) ∈ R & (4, 1) ∈ R , terapi (1, 1) ∉ R.

Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki sifat transitif.

Sifat transitif memiliki beberapa ciri didalam pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah dinyatakan seperti:

Bila  ada  satu/ sebuah busur dari e ke f dan busur dari f  ke g, jadi  juga memiliki sebuah busur

Berarah/ diarahkan dari e ke g.

Dan saat/ bila  menyajikan suatu relasi transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu ciri khusus di matriksnya.

FUNGSI

Jika A dan B adalah himpunan, maka  fungsi f dari A ke B akan memetakan  ke tepat satu elemen B untuk setiap elemen A, ditulis f : A →  B yang artinya f memetakan A ke B, A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

ika F adalah fungsi A ke B, maka A adalah domain dari f dan B adalah codomain dari f.  Jika f(a) = b maka b dikatakan sebagai image dari a dan a adalah preimage dari b. Range f adalah himpunan semua image dari elemen A. jika F adalah fungsi dari A ke B maka dikatakan bahwa F memetakan A ke B. 

Jika f1 dan f2adalah fungsi dari A ke R maka f1 + f2 dan f1f2 juga fungsi dari A ke R yang didefinisikan oleh :  

 (f1 + f2)(x) = f1 (x) + f2(x), 

 (f1 f2)(x) = f1 (x) f2(x) 

• Fungsi Satu ke Satu (One to One) dan Onto

• Fungsi Satu ke Satu (One to One)  

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. 

• Fungsi pada Onto 

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

• Fungsi Invers (Balikan)

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh :
f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Jawab:
Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.

Jawab:
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-kesatu,
sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi
yang not invertible.

• Komposisi Dua Buah Fungsi

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh
(f o g)(a) = f(g(a))

Contoh :
1. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w,z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

2. Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f o g dan g o f .
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2